Question

19．已知点A（0，-2），椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}，F$，是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．
（1）求E的方程；
（2）设过点A动直线l与E相交于P，Q两点，当OP⊥OQ时，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：a=$\sqrt{2}$c，利用直线的斜率公式求得c的值，即可求得a和b的值，求得椭圆E的方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得直线l的方程．

解答 解：（1）由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
直线AF的斜率k=$\frac{0-（-2）}{c-0}$=2，则c=1，a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l：y=kx-2，显然当存在，且k≠0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-8kx+6=0，
△=（-8k）²-4×6（1+2k²）＞0，即k²＞$\frac{3}{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$，
则y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=$\frac{-2{k}^{2}+4}{1+2{k}^{2}}$，
由OP⊥OQ，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{-2{k}^{2}+4}{1+2{k}^{2}}$=0，解得：k²=5，满足k²＞$\frac{3}{2}$，
∴k=±$\sqrt{5}$，
∴l的方程y=±$\sqrt{5}$x-2．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．