Question

2．已知函数f（x）=lnx（x＞0）．
（Ⅰ）求证：f（x）≥1-$\frac{1}{x}$；
（Ⅱ）设g（x）=x²f（x），且关于x的方程x²f（x）=m有两个不等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（i）求实数m的取值范围；
（ii）求证：x₁x₂²＜${e}^{-\frac{e}{2}}$．
（参考数据：e=2.718，$\frac{1639e}{4639}$≈0.960，$\sqrt{9{e}^{2}-24e}$≈1.124，$\frac{10}{13}$≈0.769，ln2≈0.693，ln2.6≈0.956，ln2.639≈0.970．注：不同的方法可能会选取不同的数据）

Answer 1

分析 （Ⅰ）令h（x）=f（x）-1+$\frac{1}{x}$=lnx-1+$\frac{1}{x}$，（x＞0）．确定函数h（x）单调性及最值即可．
 （Ⅱ）g（x）=x²f（x）=x²lnx，（x＞0）
（i）g′（x）=x（2lnx+1），确定g（x）的单调性，画出g（x）的图象，即可求出实数m的取值范围．
（ii）由（i）方程f（x）=m（m＜-2）的两个相异实根x₁，x₂，满足 0＜x₁＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$＜x₂＜1，
令F（x）=x²lnx-m，则有F（x₁）═f（x₂）
构造函数G（x）=F（x）-F（$\frac{{e}^{-\frac{e}{2}}}{{x}^{2}}$）=x²lnx-$\frac{{e}^{-e}}{{x}^{4}}（-\frac{e}{2}-2lnx）$，（$\frac{1}{\sqrt{e}}$＜x＜1），
利用导数得F（x₁）=F（x₂）$＞F（\frac{{e}^{-\frac{e}{2}}}{{{x}_{2}}^{2}}）$，且x₁，$\frac{{e}^{-\frac{e}{2}}}{{{x}_{2}}^{2}}$∈（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$），即可证明x₁x₂²＜${e}^{-\frac{e}{2}}$．

解答 解：（1）证明：令h（x）=f（x）-1+$\frac{1}{x}$=lnx-1+$\frac{1}{x}$，（x＞0）．
h′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
x∈（0，1）时，h′（x）＜0，x∈（1，+∞），h′（x）＞0，
h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
h（x）≥h（1）=0，即f（x）≥1-$\frac{1}{x}$成立；
（Ⅱ）g（x）=x²f（x）=x²lnx，（x＞0）
（i）g′（x）=x（2lnx+1），令g′（x）=0，得x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$．
x$∈（0，\frac{1}{\sqrt{e}}$）时，g′（x）＜0，x$∈（\frac{1}{\sqrt{e}}，+∞）$时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）递减，在（$\frac{1}{\sqrt{e}}，+∞）$递增，
g（x）_min=g（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=-$\frac{1}{2e}$，且x→0，时g（x）→0，g（1）=0．
g（x）的图象如下：

要使关于x的方程x²f（x）=m有两个不等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
实数m的取值范围为：（-$\frac{1}{2e}$，0）．
（ii）证明：由（i）方程f（x）=m（m＜-2）的两个相异实根x₁，x₂，满足 0＜x₁＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$＜x₂＜1，
令F（x）=x²lnx-m，则有F（x₁）═f（x₂）
构造函数G（x）=F（x）-F（$\frac{{e}^{-\frac{e}{2}}}{{x}^{2}}$）=x²lnx-$\frac{{e}^{-e}}{{x}^{4}}（-\frac{e}{2}-2lnx）$，（$\frac{1}{\sqrt{e}}$＜x＜1），
G′（x）＞0，且G（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）＞0，
∴$F（x）＞F（\frac{{e}^{-\frac{e}{2}}}{{x}^{2}}）$在$\frac{1}{\sqrt{e}}$＜x＜1时恒成立，
则有F（x₁）=F（x₂）$＞F（\frac{{e}^{-\frac{e}{2}}}{{{x}_{2}}^{2}}）$，且x₁，$\frac{{e}^{-\frac{e}{2}}}{{{x}_{2}}^{2}}$∈（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）
由（i）知F（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）递减，∴${x}_{1}＜\frac{{e}^{-\frac{e}{2}}}{{{x}_{2}}^{2}}$，
∴x₁x₂²＜${e}^{-\frac{e}{2}}$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明、运算能力，正确构造函数是关键．属于难题．