Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，则不等式x²f（x）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：根据条件构造函数g（x）=

f(x)

x

，利用函数的单调性和导数之间的关系，判断函数g（x）的单调性，然后根据函数f（x）的奇偶性判断函数f（x）的取值情况，即可求得不等式的解集．

解答： 解：构造函数g（x）=

f(x)

x

，g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
因为当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0恒成立，即g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，
所以在（0，+∞）内g（x）单调递减．
因为f（2）=0，所以f（x）在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集等价为不等式f（x）＞0的解集．
所以不等式的解集为（-∞，-2）∪（0，2）．
故答案为：（-∞，-2）∪（0，2）．

点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．构造函数是解决本题的关键．