Question

设函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求导函数f'（x），函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．

解答： 解：f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是减函数，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≤0在区间（0，4）上恒成立
当k=0时，成立
k＞0时，f'（4）=48k+6（k-1）×4≤0，即0＜k≤

1

3

，
k＜0时，f'（4）=48k+6（k-1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0
故k的取值范围是k≤

1

3

，
故答案为：（-∞，

1

3

]．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．