Question

8．已知函数f（x）=|（ax-1）（x-1）|（a∈R）．
（1）当a=$\frac{1}{3}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞1时，若函数g（x）=f（x）-|x-a|至少有三个零点，求a的取值范围；
（3）当0≤a≤1时，若对任意的x∈[0，2]，都有m≥f（x）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{3}$时，利用配方法求函数f（x）的单调区间；
（2）a＞1时，函数g（x）=f（x）-|x-a|至少有三个零点，转化为直线y=a-x与y=-（ax-1）（x-1）至少有1个交点；
（3）对任意的x∈[0，2]，都有m≥f（x）_max．分类讨论，求最大值，即可得出结论．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{3}$时，函数f（x）=|（$\frac{1}{3}$x-1）（x-1）|=|$\frac{1}{3}$（x-2）²-$\frac{1}{3}$|，
∴函数f（x）的单调减区间是（-∞，1），（2，3）；单调增区间是（1，2），（3，+∞）；
（2）∵a＞1时，函数g（x）=f（x）-|x-a|至少有三个零点，
∴直线y=a-x与y=-（ax-1）（x-1）至少有1个交点，
令-（ax-1）（x-1）=a-x，即ax²-（a+2）x+1+a=0，
∴△=（a+2）²-4a（1+a）≥0，即3a²-4≤0，
∵a＞1，∴1＜a≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）∵对任意的x∈[0，2]，都有m≥f（x）恒成立，
∴对任意的x∈[0，2]，都有m≥f（x）_max．
a=0时，f（x）=|x-1|，f（x）_max=1，∴m≥1；
a=1时，f（x）=（x-1）²，f（x）_max=1，∴m≥1
0＜a＜$\frac{1}{3}$时，对称轴x=$\frac{a+1}{2a}$≥2，∴函数的最大值在0处取得，∴m≥1；
$\frac{1}{3}$≤a≤1时，对称轴x=$\frac{a+1}{2a}$＜2，f（$\frac{a+1}{2a}$）=$\frac{（a-1）^{2}}{4a}$∈[0，$\frac{1}{3}$]，∴m≥1．
综上所述，m≥1．

点评 本题考查绝对值函数，考查函数的单调区间，函数的零点，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．