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已知点,圆:,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.
(1)求的轨迹方程;
(2)当时,求的方程及的面积

(1);(2)的方程为; 的面积为.

解析试题分析:(1)先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为,所以圆心为,半径为4,根据求曲线方程的方法可设,由向量的知识和几何关系:,运用向量数量积运算可得方程:;(2)由第(1)中所求可知M的轨迹是以点为圆心,为半径的圆,加之题中条件,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而,不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.
试题解析:(1)圆C的方程可化为,所以圆心为,半径为4,
,则
由题设知,故,即.
由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点为圆心,为半径的圆.
由于,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而.
因为ON的斜率为3,所以的斜率为,故的方程为.
,O到的距离为,所以的面积为.
考点:1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系

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