Question

8．已知正数a，b满足a+3b=5ab，实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤2}\\{x+2y≥5}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，若z=ax+by，求当3a+4b取最小值时z的最大值．

Answer 1

分析 利用基本不等式求出a，b，然后由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：正数a，b满足a+3b=5ab，可得：$\frac{1}{b}+\frac{3}{a}=5$，则3a+4b=$\frac{1}{5}$（3a+4b）（$\frac{1}{b}+\frac{3}{a}$）=$\frac{1}{5}$（$\frac{3a}{b}+\frac{12b}{a}$+13）
≥$\frac{1}{5}×（2\sqrt{\frac{3a}{b}×\frac{12b}{a}}+13）$=3，当且仅当a=1，b=$\frac{1}{2}$，取等号．
由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤2\\ x+2y≥5\\ y-2≤0\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}x-y=2\\ y-2=0\end{array}\right.$，解得A（4，2），
由z=x+$\frac{1}{2}$y，得y=-2x+2z，
由图可知，当直线y=-2x+2z过点A（4，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：4+2×$\frac{1}{2}$=5．

点评 本题考查了基本不等式的应用，简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．