Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点P（1，$\frac{3}{2}$），离心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）AB是经过椭圆右焦点F的任一弦，问：在x轴上是否存在定点C，使得$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$P（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，得$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$．由$e=\frac{1}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，联立基础即可得出．
（II）假设在x轴上存在定点C（n，0），使得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$为常数．设直线AB：x=my+1，联立方程$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，化为得（3m²+4）y²+6my-9=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系、数量积属于性质只要使得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$为常数即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由$P（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，得$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$．
由$e=\frac{1}{2}$，得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即a=2c．
又a²=b²+c²，∴a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C（n，0），使得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$为常数．
设直线AB：x=my+1，联立方程$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，化为得（3m²+4）y²+6my-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$．
于是x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2，${x_1}{x_2}=（m{y_1}+1）（m{y_2}+1）={m^2}{y_1}{y_2}+m（{y_1}+{y_2}）+1$．
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=（{x_1}-n）（{x_2}-n）+{y_1}{y_2}$=${x_1}{x_2}-n（{x_1}+{x_2}）+{n^2}+{y_1}{y_2}$=${m^2}{y_1}{y_2}+m（{y_1}+{y_2}）+1-mn（{y_1}+{y_2}）-2n+{n^2}+{y_1}{y_2}$=$（{m^2}+1）{y_1}{y_2}+（m-mn）（{y_1}+{y_2}）+1-2n+{n^2}$=$\frac{{（{n^2}-4）（3{m^2}+4）-8n+11}}{{3{m^2}+4}}$=${n^2}-4-\frac{8n-11}{{3{m^2}+4}}$．
∵$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$与m无关，∴$n=\frac{11}{8}$时，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}={（\frac{11}{8}）^2}-4=-\frac{135}{64}$．
故在x轴上存在定点$C（\frac{11}{8}，0）$，使$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$为常数．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．