Question

如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF=BE=2，EF=4

2

，AB=2

2

，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：AM⊥平面BCM；
（Ⅲ）求点F到平面BCE的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据AB∥EM，且AB=EM，推断出四边形ABEM为平行四边形，连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，进而可推断PQ是的中位线，可知PQ∥CE．最后根据线面平行的判定定理推断出PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）AD⊥平面ABEF，推断出BC⊥平面ABEF，进而可知BC⊥AM，等腰梯形ABEF中由AF=BE=2，EF=4

2

，AB=2

2

可求得∠BEF，BM，进而可知AB²=AM²+BM²推断出AM⊥BM进而根据BC∩BM=B，推断出AM⊥平面BCM．
（Ⅲ）根据EM²=BE²+BM²，推断出MB⊥BE，又MB⊥BC，BC∩BE=B，根据线面垂直的判定定理推断出MB⊥平面BCE，进而根据d=2MB求得答案．．

解答： 证明：（Ⅰ）∵AB∥EM，且AB=EM，
∴四边形ABEM为平行四边形，
连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，
∴PQ是的中位线，于是PQ∥CE．
∵CE?平面BCE，PQ?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）∵AD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，
∴BC⊥AM
等腰梯形ABEF中由AF=BE=2，EF=4

2

，AB=2

2

可得∠BEF=45°，BM=AM=2，
∴AB²=AM²+BM²    
∴AM⊥BM
又BC∩BM=B，∴AM⊥平面BCM．
（Ⅲ）点F到平面BCE的距离是M到平面BCE的距离的2倍，
∵EM²=BE²+BM²，
∴MB⊥BE，
又MB⊥BC，BC∩BE=B
∴MB⊥平面BCE，
∴d=2MB=4．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用，点到面的距离．考查了学生基础知识的综合运用．