Question

如图1在梯形PBCE中，PB=2BC=4，CE=3，A是线段PB上一点，AD∥BC，现将四边形PADE沿AD折起，使得平面PADE⊥平面ABCD，连接PC，CE，得到如图2所示的空间图形，已知F是PC的中点，EF∥平面ABCD．
（Ⅰ）求DE的长；
（Ⅱ）求点A到平面PCE的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结AC，BD交于点O，连结OF，则OF∥PA，且OF=

1

2

PA，又知DE∥PA，推断出DE∥OF，根据EF∥平面ABCD，平面ODEF∩平面ABCD=OD，判断出EF∥OD，进而可知四边形ODEF为平行四边形，求得DE=

1

2

PA，又PA+CD=4，CD+DE=3，则DE可求．
（Ⅱ）由EF∥BD，BD⊥平面PAC，根据线面垂直的判定知EF⊥平面PAC，过点A作AG⊥PC，垂足为G，则AG⊥平面PCE，继而求得AG，即点A到平面PCE的距离．

解答： 解：（Ⅰ）连结AC，BD交于点O，连结OF，则OF∥PA，且OF=

1

2

PA，
又DE∥PA，
∴DE∥OF，
∵EF∥平面ABCD，平面ODEF∩平面ABCD=OD，
∴EF∥OD，
∴四边形ODEF为平行四边形，
∴DE=

1

2

PA，
又PA+CD=4，CD+DE=3，
∴DE=1．
（Ⅱ）∵EF∥BD，BD⊥平面PAC，
∴EF⊥平面PAC，
过点A作AG⊥PC，垂足为G，则AG⊥平面PCE，
AG=

2×2 2

4+8

=

2 6

3

，即点A到平面PCE的距离为

2 6

3

．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直判定定理的应用，点到面的距离．考查了学生综合运用所学知识的能力．