Question

8．已知函数f（x）=|x-m|+|x+4|（m∈R）
（1）当m=5时，求不等式f（x）≤10的解集；
（2）若不等式f（x）≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=5时，f（x）≤12，即|x-5|+|x+4|≤10，通过讨论x的范围，从而求得不等式f（x）≤12的解集；
（2）由绝对值不等式的性质求得f（x）的最小值为|m+4|，由题意得|m+4|≥7，由此求得m的范围．

解答 解：（1）m=5时，f（x）≤10记|x-5|+|x+4|≤10，
x＜-4时，-2x≤9，记x≥-$\frac{9}{2}$，故-$\frac{9}{2}$≤x＜-4，
-4≤x≤5时，得：9≤10成立，故-4≤x≤5，
x＞5时，得：2x≤11，即x≤$\frac{11}{2}$，故5＜x≤$\frac{11}{2}$，
故不等式的解集是{x|-$\frac{9}{2}$≤x≤$\frac{11}{2}$}；
（2）f（x）=|x-m|+|x+4|≥|（x-m）-（x+4）|=|m+4|，
由题意得|m+4|≥7，
则m+4≥7或m+4≤-7，简单：m≥3或m≤-11，
故m的范围是（-∞，-11]∪[3，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．