Question

【题目】某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；
（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：当0＜x≤100时，p=60；

当100＜x≤600时，

p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x．

∴p=

（2）解：设利润为y元，则

当0＜x≤100时，y=60x﹣40x=20x；

当100＜x≤600时，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2．

∴y=

当0＜x≤100时，y=20x是单调增函数，当x=100时，y最大，此时y=20×100=2 000；

当100＜x≤600时，y=22x﹣0.02x2=﹣0.02（x﹣550）2+6 050，

∴当x=550时，y最大，此时y=6 050．

显然6050＞2000．

所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元

【解析】（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x．（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x﹣40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2 ， 分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．