Question

19．已知直线l：y=x-1与曲线C：y=$\frac{lnx}{x}$相切于点A，则A点坐标为（1，0）．

Answer 1

分析 设切点A（m，n），代入切线的方程和曲线方程，求得函数的导数，求得切线的斜率，化为lnm+m²=1，由f（m）=lnm+m²的导数大于0，且f（1）=0，解方程可得m=1，n=0，进而得到切点的坐标．

解答 解：设切点A（m，n），可得m-1=n，$\frac{lnm}{m}$=n，
y=$\frac{lnx}{x}$的导数为y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
可得$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$=1，
即为lnm+m²=1，
由f（m）=lnm+m²的导数为$\frac{1}{m}$+2m＞0，
则f（m）递增，且f（1）=1，
即有方程lnm+m²=1的解为m=1．
可得n=0．
即为A（1，0）．
故答案为：（1，0）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查导数的几何意义，正确求导和运用构造函数，由单调性解方程是解题的关键，属于中档题．