此题主要考查多项式函数的导数,函数单调性的判定,函数最值,函数、方程等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力,难度不大.
(1)首先求出函数的导数,然后f′(-1)=0,f′(
)=0,解出a、b的值,进而求出解析式
(2)f′(x)<0,求出函数的单调区间;
(3)由(1)求出端点处函数值,从而求出函数f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.
解:(1) f ¢(x)=12x
2+2ax+b.?由题设知x =
与x =-1时函数有极值.
则x =
与x =-1满足f ¢(x)=0.
解得a =-3,b =-18. ∴f(x)= 4x
3-3x
2-18x+5. ……4分
(2)f ¢(x)=12x
2-6x-18=6(x+1)(2x-3),
令f ¢(x)>0得:(-∞,-1)和(
,+∞)均为函数的单调递增区间;
(-1,
)为函数的单调递减区间. ……8分
(3)极值点(-1,
) 均属于[-1,2],?
又∵f(-1)=16, f(2)=-11, f(
)=-
, ……10分
故f(x)在[-1,2]上的最小值是-
,最大值为16. ……12分
注:其它解法可酌情给分.