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(本题共12分)
已知函数,其中
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)求函数在〔〕上的最小值和最大值。
(Ⅰ)函数上单调递减,在上单调递增;
(Ⅱ) 当时,上的最小值为,最大值为
时,上的最小值为,最大值为
本试题主要考查了导数研究函数的最值问题的运用。
(1)因为函数,其中,求解导数得到,然后对于参数a的范围结合对数值来分类讨论得到结论。
(2)在第一问的基础上,单调递减,在在单调递增
时,取得最小值
,进而作差比较大小,得到关于a的函数,结合导数求解得到。
解:(Ⅰ) ,∴ 。
① 当时,,由可得;由可得
上单调递减,在上单调递增。
②当时,,由可得;由可得
上单调递减,在上单调递增。
综上可得,函数上单调递减,在上单调递增。………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知单调递减,在在单调递增
时,取得最小值
……………………………………………………6分
 ,
,则
(当且仅当)∴上单调递增.
又∵
∴①当时,,即
这时,上的最大值为
②当时,,即
这时,上的最大值为
综上,当时,上的最小值为,最大值为
时,上的最小值为,最大值为…………12分
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