本试题主要考查了导数研究函数的最值问题的运用。
(1)因为函数
,其中
且
,求解导数得到
,然后对于参数a的范围结合对数值来分类讨论得到结论。
(2)在第一问的基础上,
在
单调递减,在
在单调递增
当
时,
取得最小值
,进而作差比较大小,得到关于a的函数,结合导数求解得到。
解:(Ⅰ)
,∴
。
① 当
时,
,由
可得
;由
可得
在
上单调递减,在
上单调递增。
②当
时,
,由
可得
;由
可得
在
上单调递减,在
上单调递增。
综上可得,函数
在
上单调递减,在
上单调递增。………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
在
单调递减,在
在单调递增
当
时,
取得最小值
……………………………………………………6分
,
设
,则
。
∵
(当且仅当
时
)∴
在
上单调递增.
又∵
,
∴①当
时,
,即
,
这时,
在
上的最大值为
;
②当
时,
,即
这时,
在
上的最大值为
。
综上,当
时,
在
上的最小值为
,最大值为
;
当
时,
在
上的最小值为
,最大值为
…………12分