Question

18．如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，D，E分别是AB，PB的中点．
（1）求证：DE∥平面PAC；
（2）求证：AB⊥PB；
（3）若PC=BC=2，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）证明DE∥PA，利用线面平行的判定定理，证明DE∥平面PAC；
（2）证明AB⊥平面PBC，即可证明：AB⊥PB；
（3）若PC=BC=2，利用三棱锥的体积公式求三棱锥P-ABC的体积．

解答 （1）证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，
所以DE∥PA．
因为PA⊆平面PAC，且DE?平面PAC，
所以DE∥平面PAC．           …（4分）
（2）证明：因为PC⊥平面ABC，且AB⊆平面ABC，
所以AB⊥PC．又因为AB⊥BC，且PC∩BC=C．
所以AB⊥平面PBC．又因为PB⊆平面PBC，
所以AB⊥PB．                                          …（8分）
$\begin{array}{l}（3）∵PC⊥ABC，△ABC∠ABC={90°}，AB=BC=2\\∴{V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•PC=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2）×2=\frac{4}{3}\end{array}$…（12分）

点评 本题考查线面平行、垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．