Question

已知a、b、c为正实数，且2a+b=1，则s=2

ab

-5a²-b²-c²+2ac的最大值为（　　）

• A、

  2 -1

  2

• B、

  2

  -1
• C、

  2

  +1
• D、

  2 +1

  2

Answer 1

考点：平均值不等式在函数极值中的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：将原式看成是关于c的函数，对c进行配方，再利用基本不等式研究关于a、b的不等关系，得到原函数的最大值．

解答： 解：∵a、b、c为正实数，且2a+b=1，
∴2a+b≥2

2ab

，1≥2

2ab

，
即2

ab

≤

2

2

（当且仅当2a=b时取等号）．
又（2a+b）²≤2[（2a）²+b²]，
∴4a2+b2≥

1

2

．
即-(4a2+b2)≤-

1

2

（当且仅当2a=b时取等号）．
∴s=2

ab

-5a²-b²-c²+2ac
=-c2+2ac-5a2+2

ab

-b2
=-(c-a)2-(4a2+b2)+2

ab

．
∵-（c-a）²≤0，
∴s≤0-

1

2

+

2

2

=

2 -1

2

．（当且仅当2a=b时取等号）．
∴s的最大值为

2 -1

2

．
故选A．

点评：本题考查了函数的最大值求法和基本不等式的应用，解题时要注意用基本不等式时的条件“一正二定三相等”，特别要注意同时取等号的条件．本题思维量不大，但有一定的运算量，属于中档题．