Question

19．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC
（1）求∠B的大小；
（2）若a=4，A=45°，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得b²=a²+c²+ac，进而利用余弦定理得cosB=-$\frac{1}{2}$，结合范围0°＜B＜180°，可求B的值．
（2）利用三角形内角和定理可求C，由正弦定理即可计算得解c的值．

解答 解：（1）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，又由已知2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC，
可得：b²=a²+c²+ac，①…（1分）
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，②
①代入得②，可得：cosB=-$\frac{1}{2}$，…（2分）
又0°＜B＜180°，…（3分）
所以有∠B=120°，…（4分）
（2）由（1）得B=120°，又A=45°，
∴C=15°．…（5分）
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{4}{sin45°}=\frac{c}{sin15°}$，…（6分）
∴c=4×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$×$\frac{2}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{3}$-2．…（8分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．