Question

已知函数f（x）=lnx+2x²+ax+1是单调递增函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：先求出导函数，然后将函数f（x）=lnx+2x²+ax+1是单调递增函数，转化成f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，将a分离出来，利用基本不等式求出另一侧的最值，即可求出所求．

解答： 解：∵f（x）=lnx+2x²+ax+1，
∴f′（x）=4x+a+

1

x

∵函数f（x）=lnx+2x²+ax+1是单调递增函数，
∴f′（x）=4x+a+

1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立
即-a≤4x+

1

x

在（0，+∞）上恒成立
而x∈（0，+∞）时4x+

1

x

≥4
∴-a≤4，即a≥-4．
故答案为：a≥-4．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题，同时考查了转化的数学思想，属于中档题．