Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=tanx有无数个零点；
②把函数f（x）=2sin2x图象上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向右平移

π

6

个单位得到的函数解析式可以表示为g（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）；
③函数f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[-1，1]；
④已知函数f（x）=2cos2x，若存在实数x₁、x₂，使得对任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
其中正确命题的序号为

 

（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：①当x=kπ，k∈Z时，函数f（x）=tanx=0；
②得到的函数解析式可以表示为g（x）=2sin[

1

2

（x-

π

6

）]；
③先对函数化简，然后结合正弦函数的值域求解即可；
④若对任意的实数x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则x₁，x₂是函数的两个对称轴，且f（x₁）为最小值，f（x₂）为最大值，然后根据三角函数的图象和性质即可求解结论．

解答： 解：①当x=kπ，k∈Z时，函数f（x）=tanx=0，故①正确；
②把函数f（x）=2sin2x图象上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向右平移

π

6

个单位得到的函数解析式可以表示为g（x）=2sin[

1

2

（x-

π

6

）]，故②不正确；
③f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|=

2sinx，sinx≥0 0，sinx＜0

，根据正弦函数的值域的求解可得值域是[0，1]，故不正确；
④∵f（x）=2cos2x，∴函数的周期T=π．如果存在实数x₁，x₂，使得对任意的实数x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则x₁，x₂是函数的两个对称轴，且f（x₁）为最小值，f（x₂）为最大值，
∴|x₁-x₂|的最小值为相邻两个对称轴之间的距离即

π

2

，故④正确．
故答案为：①④．

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数，余弦函数及正切函数的图象和性质是解答的关键．