Question

13．已知P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，且AB=PA，求：二面角P-BD-A的余弦值．

Answer 1

分析 连结AC，BD，交于点O，连结PO，则∠AOP是二面角P-BD-A的平面角，由此能求出二面角P-BD-A的余弦值．

解答 解：连结AC，BD，交于点O，连结PO，设AB=PA=a，
∵P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，
∴O是BD中点，AB=AD=a，PB=PD=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}a$，
∴AO⊥BD，PO⊥BD，
∴∠AOP是二面角P-BD-A的平面角，
AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，PO=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}a}{2}$，
∴cos∠AOP=$\frac{AO}{PO}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{\frac{\sqrt{6}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角P-BD-A的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．