Question

【题目】已知函数 （其中 是自然对数的底数）
（1）若 ，当 时，试比较 与2的大小；
（2）若函数 有两个极值点 ，求 的取值范围，并证明：

Answer 1

【答案】
（1）解：当 时， ，则 ，令 ，
由于 故 ，于是 在 为增函数，所以 ，即 在 恒成立，
从而 在 为增函数，故
（2）解：函数 有两个极值点 ，则 是 的两个根，即方程 有两个根，
设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增且 ；
当 时， ，函数 单调递增且 ；
当 时， ，函数 单调递增且 ；
要使方程 有两个根，只需 ，如图所示

故实数 的取值范围是
又由上可知函数 的两个极值点 满足 ，由 得 .
由于 ，故 ，所以
【解析】（1）根据导函数即可判断f（x）在上的单调性，由单调性即可比较f（x）与2的大小，（2）先求导数 f ' ( x )，由题意知x 1 , x 2 ， 是方程 f ' ( x )=0的两个根，令，利用导数得到函数的单调区间，继而可得到k的取值范围，由 f ' ( x 1 ) = 0 得 k = ，又由f（x1）=-（x1-1）2+1，x1∈（0,1），即可得到0<f（x1）<1.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值的理解，了解极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．