Question

17．已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，且${S_n}=\frac{n+2}{3}{a_n}$，则$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$的最大值为（　　）

• A． -3
• B． -1
• C． 3
• D． 1

Answer 1

分析 利用递推关系可得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=$\frac{n+1}{n-1}$=1+$\frac{2}{n-1}$，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：∵${S_n}=\frac{n+2}{3}{a_n}$，∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+2}{3}$a_n-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，化为：$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=$\frac{n+1}{n-1}$=1+$\frac{2}{n-1}$，
由于数列$\{\frac{2}{n-1}\}$单调递减，可得：n=2时，$\frac{2}{n-1}$取得最大值2．
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$的最大值为3．
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．