Question

6．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：$\overrightarrow{a}$²=（5$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$，则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞的最小值为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{5}$（$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{b}$²），由向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，运用基本不等式和向量的夹角公式，即可得到所求最小值．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：$\overrightarrow{a}$²=（5$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{5}$（$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{b}$²）=$\frac{1}{5}$（|$\overrightarrow{a}$|²+4|$\overrightarrow{b}$|²）≥$\frac{1}{5}$•2$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}•4|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$=$\frac{4}{5}$|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，
即有cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$≥$\frac{4}{5}$•$\frac{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4}{5}$，
当且仅当|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|，取得最小值$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和夹角公式，以及性质：向量的平方即为模的平方，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．