Question

16．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（3，4）在双曲线的渐近线上，若|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，则此双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$$-\frac{{y}^{2}}{16}$=1

Answer 1

分析 根据题意，设双曲线的焦点坐标为F₁（-c，0）、F₂（c，0），由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，结合题意可得$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$；有P、F₁、F₂的坐标可得向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$、$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的坐标，计算可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（6，8），结合题意可得|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=10，即可得c的值，由双曲线的几何性质可得a²+b²=25，又由$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，解可得a²、b²的值，代入双曲线的方程，即可得答案．

解答 解：根据题意，设双曲线的焦点坐标为F₁（-c，0）、F₂（c，0），
双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，其焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
又由点P（3，4）在双曲线的渐近线上，则其一条渐近线方程为：y=$\frac{4}{3}$x，
则有$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，
又由P（3，4），F₁（-c，0）、F₂（c，0），
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-c-3，-4），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（c-3，-4）
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-6，-8），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=10，
又由|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|，则|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=10，即2c=10，
则有c=5，
即a²+b²=25，
又由$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，
解可得a²=9，b²=16，
则双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
故选：D．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意有|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$+\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|分析得到c的值．