Question

11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{2}$，A为C的上顶点，P为C第一象限上的一点，连接AP交x轴于点Q，过点Q作C第四象限的一条切线l交y轴于点B，当P为AQ的中点时，|OB|=$\sqrt{6}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）连接PO，求四边形OPQB面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为y=kx-$\sqrt{6}$，则Q（$\frac{\sqrt{6}}{k}$，0），又A（0，b），P为AQ的中点，可得P（$\frac{\sqrt{6}}{2k}$，$\frac{b}{2}$），把P（$\frac{\sqrt{6}}{2k}$，$\frac{b}{2}$）代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得a²k²=2．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\sqrt{6}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，即（b²+2）x²-2$\sqrt{6}$ka²x+6a²-a²b²=0，△=24k²a⁴-4（b²+2）（6a²-a²b²）=0，解得b．a即可．
（2）设直线AP的方程为：y=kx+2（k＜0），则Q$（-\frac{2}{k}，0）$．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，解得x_P=$\frac{-12k}{2+3{k}^{2}}$，y_P=kx_P+2=$\frac{4-6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
设切线QB的方程为：y=m（x+$\frac{2}{k}$）（m＞0），代入椭圆方程可得：（2k²+3m²k²）x²+12km²x+12m²-12k²=0，则△=144k²m⁴-4（2k²+3m²k²）（12m²-12k²）=0，解得m=$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{2-3{k}^{2}}}$，又B$（0，\frac{2m}{k}）$．由四边OPQB面积S=S_△OQB+S_△OQP=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{-k}$（$\frac{4-6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$+$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2-3{k}^{2}}}$）=$\frac{6{k}^{2}-4}{3{k}^{3}+2k}-\frac{2\sqrt{2}}{k\sqrt{2-3{k}^{2}}}$．

解答 解：（1）设直线l的方程为y=kx-$\sqrt{6}$，则Q（$\frac{\sqrt{6}}{k}$，0），
又A（0，b），P为AQ的中点，∴P（$\frac{\sqrt{6}}{2k}$，$\frac{b}{2}$），
把P（$\frac{\sqrt{6}}{2k}$，$\frac{b}{2}$）代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得$\frac{6}{4{k}^{2}{a}^{2}}+\frac{1}{4}=1$，
整理得a²k²=2．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\sqrt{6}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消元得（b²+a²k²）x²-2$\sqrt{6}$ka²x+6a²-a²b²=0，
即（b²+2）x²-2$\sqrt{6}$ka²x+6a²-a²b²=0，
∵直线l与椭圆C相切，
∴△=24k²a⁴-4（b²+2）（6a²-a²b²）=0，即48a²-4a²（b²+2）（6-b²）=0，
解得b²=4．
又2c=2$\sqrt{2}$，即c=$\sqrt{2}$，∴a²=b²+c²=6，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）设直线AP的方程为：y=kx+2（k＜0），则Q$（-\frac{2}{k}，0）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为：（2+3k²）x²+12kx=0，
解得x_P=$\frac{-12k}{2+3{k}^{2}}$，y_P=kx_P+2=$\frac{4-6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
设切线QB的方程为：y=m（x+$\frac{2}{k}$）（m＞0），
代入椭圆方程可得：（2k²+3m²k²）x²+12km²x+12m²-12k²=0，
则△=144k²m⁴-4（2k²+3m²k²）（12m²-12k²）=0，
化为：2m²=2k²+3m²k²．解得m=$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{2-3{k}^{2}}}$，又B$（0，\frac{2m}{k}）$．
∴四边OPQB面积S=S_△OQB+S_△OQP=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{-k}$（$\frac{4-6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$+$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2-3{k}^{2}}}$）
=$\frac{6{k}^{2}-4}{3{k}^{3}+2k}-\frac{2\sqrt{2}}{k\sqrt{2-3{k}^{2}}}$．
令$\sqrt{2-3{k}^{2}}$=t∈（0，$\sqrt{2}$）．k²=$\frac{2-{t}^{2}}{3}$∈（0，$\frac{2}{3}$），k∈（-$\frac{\sqrt{6}}{3}，0$）．
则S=-$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2-{t}^{2}}}$（$\frac{{t}^{2}}{4-{t}^{2}}$-$\frac{\sqrt{2}}{t}$）

点评 本题考查椭圆标准方程、四边形面积取值范围的求法，涉及椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．