Question

20．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线上点P（2，y₀）的切线为l，过点P作平行于x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，若|PM|=5，则p的值为6．

Answer 1

分析 根据导数的几何意义求称呼切线方程，再根据|PM|=5，得到M的坐标，然后代入到直线m中即可求出．

解答 解：设P（2，2$\sqrt{p}$），由y=$\sqrt{2px}$，可得y′=$\sqrt{2p}$•$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
当x=2时，y′=$\frac{\sqrt{p}}{2}$，
∴过F作平行于l的直线方程为y=$\frac{\sqrt{p}}{2}$（x-$\frac{p}{2}$），
∵过点P作平行于x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，|PM|=5，
∴M（7，2$\sqrt{p}$），
∴7-$\frac{p}{2}$=4，解得p=6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，用点斜式求直线方程以及求两直线的交点坐标的方法，属于中档题．