Question

7．△ABC外接圆的半径为$\sqrt{2}$，圆心为O，BC=2，且∠ABC为锐角，则$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{BC}$的取值范围是（　　）

• A． （-2，2$\sqrt{2}$]
• B． （-2$\sqrt{2}$，2]
• C． [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 判断$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{BC}$的夹角的范围，根据余弦定理得出AB，AC的关系，使用数量积的运算公式利用排除法选出答案．

解答 解：过O作OD⊥AB，OE⊥AC，则D，E分别是AB，AC的中点，
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}）$=OA•AB•cos∠BAO-OA•AC•cos∠CAO=AB•AD-AC•AE=$\frac{1}{2}A{B}^{2}-\frac{1}{2}A{C}^{2}$．
∵∠ABC是锐角，
∴cos∠ABC=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{A{B}^{2}-A{C}^{2}+4}{4AB}$＞0．
∴AB²-AC²＞-4．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（AB²-AC²）＞-2．排除B，C．
∵O为△ABC的外接圆圆心，∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{BC}$的夹角θ不等于0°．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=OA•BC•cosθ=2$\sqrt{2}$cosθ≠2$\sqrt{2}$．排除A．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量加法的几何意义，余弦定理，属于中档题．