Question

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=$-\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求${sin^2}\frac{B+C}{2}+cos2A$的值；
（Ⅱ）若$a=\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式即可得出；
（II）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosA=$-\frac{1}{4}$，
∴${sin^2}\frac{B+C}{2}+cos2A$=${cos^2}\frac{A}{2}+2{cos^2}A-1$
=$\frac{1+cosA}{2}+2{cos^2}A-1$
=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵a²=b²+c²-2bccosA=${b^2}+{c^2}+\frac{1}{2}bc$≥$2bc+\frac{1}{2}bc$=$\frac{5}{2}$bc，
∵$a=\sqrt{3}$，∴$bc≤\frac{6}{5}$，当且仅当b=c时取等号，
由cosA=-$\frac{1}{4}$，得sinA=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴${S_△}ABC=\frac{1}{2}bcsinA$≤$\frac{{3\sqrt{15}}}{20}$，
∴S_△ABC的最大值为$\frac{3\sqrt{15}}{20}$．

点评 本题考查了倍角公式、余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．