Question

18．已知关于x的不等式$\frac{{a}^{2}-11-x}{a-x}$＞-4和log₂（a+1+x）＞2log₂（a-x）-2的解集分别为A和B，且2∈∁_RA，1∈B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 这用到了反向思维，A、B解集中所有的x的取值都应满足不等式，因此把x=2代入第一个不等式即$\frac{{a}^{2}-13}{a-2}≤-4$，可以解出一个a的范围，同理带x=1入第二个不等式可以解出另外一个范围，两个范围取交集 即可．

解答 解：由题意可知且2∈∁_RA，则将x=2代入第一个不等式化简得：$\frac{{a}^{2}-13}{a-2}≤-4$，
整理得：a²+4a-21≤0解得-7≤a≤3
将x=1代入第二个不等式整理得：log₂（a+2）＞2log₂（x-1）-2
化简整理得：a²-6a-7＜0
解得：-1＜a＜7
综上可知-1＜a≤3．
故答案为（-1，3]

点评 本题主要考察对不等式解集的理解，解集的每个元素代入不等式都成立；一元二次不等式的解法，两个解集取并集，属于基础题．