Question

10．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$=2|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为（　　）

• A． $-\frac{3}{8}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $-\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 对$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|$两边平方便可得到$6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=9{\overrightarrow{b}}^{2}$，从而便得到$2|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=3|\overrightarrow{b}|$，这样带入$|\overrightarrow{a}|=2|\overrightarrow{b}|$便可得出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值．

解答 解：由$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}|$得，${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+9{\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴$6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=9{\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴$2|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=3|\overrightarrow{b}|$；
又$|\overrightarrow{a}|=2|\overrightarrow{b}|$；
∴$4|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=3|\overrightarrow{b}|$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{3}{4}$．
故选：D．

点评 考查向量的数量积的运算及计算公式，以及向量长度的概念．