Question

13．如果复数（1+bi）（2+i）是纯虚数，则$|{\frac{2b+3i}{1+bi}}|$的值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用复数代数形式的乘法运算化简复数，再由已知复数（1+bi）（2+i）是纯虚数，列出方程组，求解得到b的值，然后代入$\frac{2b+3i}{1+bi}$，由复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算则答案可求．

解答 解：（1+bi）（2+i）=2-b+（1+2b）i，
∵复数（1+bi）（2+i）是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-b=0}\\{1+2b≠0}\end{array}\right.$，
解得b=2．
$\frac{2b+3i}{1+bi}$=$\frac{4+3i}{1+2i}$=$\frac{（4+3i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=\frac{10-5i}{5}=2-i$，
则$|{\frac{2b+3i}{1+bi}}|$=$\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．