Question

4．设a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sinxdx，则（2x+$\frac{a}{x}$）⁶展开式的常数项为160．

Answer 1

分析 由微积分基本定理可得a，再利用二项式定理的展开式的通项公式即可得出．

解答 解：a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sinxdx=$（-cosx）{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=1，
则（2x+$\frac{a}{x}$）⁶=$（2x+\frac{1}{x}）^{6}$的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}（2x）^{6-r}（\frac{1}{x}）^{r}$=2^6-r${∁}_{6}^{r}$x^6-2r，
令6-2r=0，解得r=3．
∴展开式的常数项为：2³${∁}_{6}^{3}$=160．
故答案为：160．

点评 本题考查了微积分基本定理、二项式定理的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．