Question

16．在如图所示的几何体中，四边形BB₁C₁C是矩形，BB₁⊥平面ABC，A₁B₁∥AB，AB=2A₁B₁，E是AC的中点．
（1）求证：A₁E∥平面BB₁C₁C；
（2）若AC=BC，AB=2BB₁，求证：平面BEA₁⊥平面AA₁C₁．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点F，连结EF，A₁F．则可通过证明平面A₁EF∥平面BB₁C₁C得出A₁E∥平面BB₁C₁C；
（2）连结CF，则可得出CF∥A₁C₁，通过证明CF⊥平面平面ABB₁A₁得到CF⊥A₁B．即A₁C₁⊥A₁B，利用勾股定理的逆定理得出AA₁⊥A₁B，于是A₁B⊥平面AA₁C₁，从而平面BEA₁⊥平面AA₁C₁．

解答 证明：（1）取AB的中点F，连结EF，A₁F
∵AB=2A₁B₁，∴BF=A₁B₁，
又A₁B₁∥AB，∴四边形A₁FBB₁是平行四边形，
∴A₁F∥BB₁，
∵E，F分别AC，AB的中点，
∴EF∥BC，
又EF?平面A₁EF，A₁F?平面A₁EF，EF∩A₁F=F，BC?平面BB₁C₁C，BB₁?平面BB₁C₁C，BC∩BB₁=B，
∴平面A₁EF∥平面BB₁C₁C．
又A₁E?平面A₁EF，
∴A₁E∥平面BB₁C₁C．
（2）连结CF，
∵BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥BF，BB₁⊥CF，
∵AC=BC，F是AB的中点，∴CF⊥AB，
又AB?平面ABB₁A₁，BB₁?平面ABB₁A₁，AB∩BB₁=B，
∴CF⊥平面ABB₁A₁，又A₁B?平面ABB₁A₁，
∴CF⊥A₁B．
∴四边形A₁FBB₁是矩形，又四边形BB₁C₁C是矩形，
∴A₁F$\stackrel{∥}{=}$BB₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁，
∴四边形A₁FCC₁是平行四边形，∴A₁C₁∥CF．
∴A₁C₁⊥A₁B．
∵AB=2A₁B₁=2BB₁，
∴AF=BF=A₁F，又AF₁⊥AB，
∴△ABA₁是等腰直角三角形，即AA₁⊥A₁B，
又AA₁?平面AA₁C₁，A₁C₁?平面AA₁C₁，AA₁∩A₁C=A₁，
∴A₁B⊥平面AA₁C₁，又A₁B?平面BEA₁，
∴平面BEA₁⊥平面AA₁C₁．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，属于中档题．