Question

14．在数列{a_n}中，a₁=2，（a_n+1-1）（a_n-1）+2a_n+1-2a_n=0（n∈N^*），若a_n＜$\frac{51}{50}$，则n的最小值为100．

Answer 1

分析 令a_n-1=b_n，确定$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，可得数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，求出b_n=$\frac{2}{n+1}$，可得a_n=$\frac{2}{n+1}$+1，利用a_n＜$\frac{51}{50}$建立不等式，即可得出结论．

解答 解：令a_n-1=b_n，则
∵（a_n+1-1）（a_n-1）+2a_n+1-2a_n=0，
∴b_n+1b_n+2b_n+1-2b_n=0
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∵a₁=2，∴$\frac{1}{{b}_{1}}$=1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，
∴b_n=$\frac{2}{n+1}$，
∴a_n-1=$\frac{2}{n+1}$，
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$+1，
∵a_n＜$\frac{51}{50}$，
∴$\frac{2}{n+1}$+1＜$\frac{51}{50}$，
∴n＞99，
∴n的最小值为100．
故答案为：100．

点评 本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，考查学生的计算能力，正确转化是关键．