Question

16．已知p若对任意x＞-1，不等式$\frac{{x}^{2}}{x+1}$≥a恒成立，q：方程ax²-ax+1=0有实数解．若p且q为假，p或q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若P真，由题知：对任意x＞-1，$\frac{{x}^{2}}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-2（x+1）+1}{x+1}$=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-2≥0，即可得出a的范围．若q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，解得a范围．由p且q为假，p或q为真，得p，q中必有一真一假．

解答 解：若P真，由题知：对任意x＞-1，$\frac{{x}^{2}}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-2（x+1）+1}{x+1}$=（x+1）+$\frac{1}{x+1}$-2≥0，∴a≤0．
若q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，解得a＜0或a≥4．
由p且q为假，p或q为真，得p，q中必有一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{0≤a＜4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＜0或a≥4}\end{array}\right.$，
解得a=0，或a≥4．
综上所述，a的取值范围是a=0或a≥4．

点评 本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法、一元二次方程有实数根的条件、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．