Question

正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥平面BCE.

Answer 1

证明略

  方法一 如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.


∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE=BD.

又∵AP=DQ，∴PE=QB，
又∵PM∥AB∥QN，
∴，，，∴PM   QN，
∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.
又MN平面BCE，PQ平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
方法二 如图所示，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK，
∵AE=BD，AP=DQ，
∴PE=BQ，
∴=                                       ①
又∵AD∥BK，∴=                           ②
由①②得=，∴PQ∥EK.
又PQ平面BCE，EK平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
方法三 如图所示，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，
连接QM.
∵PM∥BE，PM平面BCE，
即PM∥平面BCE，
∴=                                   ①
又∵AP=DQ，∴PE=BQ，
∴=                                   ②
由①②得=，∴MQ∥AD，
∴MQ∥BC，又∵MQ平面BCE，∴MQ∥平面BCE.
又∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCE，
PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.