Question

18．一个盒子中装有大小相同的小球n个，在小球上分别标有1，2，3，…，n的号码，已知从盒子中随机地取出3个球，3个球的号码最大值为n的概率为$\frac{3}{8}$．
（1）求n的值；
（2）现从盒子中随机地取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量ξ（如取2468时，ξ=1；取1246时，或取1245时，ξ=2；取1235时，ξ=3）．
（i）求 P（ξ=3）的值；        
（ii）求随机变量ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）由题意$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{C}_{n}^{3}}$=$\frac{3}{8}$，由此能求出n．
（2）（i）基本事件总数n=${C}_{8}^{4}$，ξ=3包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}$，由此能求出P（ξ=3）．
（ii）由题意知ξ的所有可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵一个盒子中装有大小相同的小球n个，
在小球上分别标有1，2，3，…，n的号码，已
从盒子中随机地取出3个球，3个球的号码最大值为n的概率为$\frac{3}{8}$．
∴$\frac{{C}_{n-1}^{2}}{{C}_{n}^{3}}$=$\frac{3}{8}$，
解得n=8．
（2）（i）基本事件总数n=${C}_{8}^{4}$=70，
ξ=3包含的基本事件个数m=${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}$=20，
P（ξ=3）=$\frac{m}{n}$=$\frac{20}{70}$=$\frac{2}{7}$．
（ii）由题意知ξ的所有可能取值为1，2，3，4，
P（ξ=1）=$\frac{5}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$，
P（ξ=4）=$\frac{5}{{C}_{8}^{4}}$=$\frac{1}{14}$，
P（ξ=3）=$\frac{2}{7}$．
P（ξ=2）=1-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=$\frac{4}{7}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{1}{7}$

Eξ=$1×\frac{1}{14}+2×\frac{2}{7}+3×\frac{2}{7}+4×\frac{1}{7}$=$\frac{33}{14}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．