Question

11．已知双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{7}}{2}$，且其顶点到其渐近线的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1或$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由当焦点在x轴上，设双曲线方程，由离心率公式求得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得渐近线方程，由点到直线的距离公式即可求得a的值，求得双曲线方程，同理当焦点在y轴上时，即可求得双曲线方程．

解答 解：当焦点在x轴上，设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
由题意，顶点到渐近线的距离，$\frac{丨\frac{\sqrt{3}}{2}a丨}{\sqrt{\frac{3}{4}+1}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，解得a=2，
∴∴b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
当焦点在y轴上，设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
渐近线方程为y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
由题意可知：顶点到渐近线的距离为$\frac{丨a丨}{\sqrt{\frac{4}{3}+1}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，解得a=2，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$，
综上可知：双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$或$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$．
故选D．

点评 本题考查双曲线的标准方程，双曲线的简单的几何性质，渐近线方程及点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．