Question

4．设F₁，F₂分别为椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁、b₁＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F₁MF₂=90°，若MF₁•MF₂=ab，则双曲线C₁的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可．

解答 解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF₁|+|MF₂|=2a，|MF₁|-|MF₂|=2a₁，
所以|MF₁|=a+a₁，|MF₂|=a-a₁．
因为∠F₁MF₂=90°，
所以|MF₁|²+|MF₂|²=4c²，
|MF₁|•|MF₂|=ab，即a²-a₁²=ab，①
即（a+a₁）²+（a-a₁）²=4c²，
化为a²+a₁²=2c²，②
由a²-b²=c²，
①+②可得2a²=2c²+ab，
即有a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
②-①可得2a₁²=2c²-ab
=2c²-$\frac{2}{3}$c²=$\frac{4}{3}$c²，
则双曲线的离心率为$\frac{c}{{a}_{1}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查转化思想和化简整理的运算能力，属于中档题．