Question

13．（1）设${（1+x+{x^2}）^3}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_6}{x^6}$，求a₂，a₃．
（2）设$x={（25+2\sqrt{155}）^{20}}+{（25+2\sqrt{155}）^{17}}$，其x的整数部分的个位数字．

Answer 1

分析 （1）根据展开式即可求出答案；
（2）令$y={（25-2\sqrt{155}）^{20}}+{（25-2\sqrt{155}）^{17}}$，求出x+y，再根据二项式定理可得案．

解答 解：（1）因为${（1+x+{x^2}）^3}={（（1+x）+{x^2}）^3}=C_3^0{（1+x）^3}+C_3^1{（1+x）^2}{x^2}+C_3^2（1+x）{x^4}+C_3^3{x^3}$，
所以a₂=C₃²+C₃¹=6，a₃=C₃³+C₃¹C₂¹=7；
（2）令$y={（25-2\sqrt{155}）^{20}}+{（25-2\sqrt{155}）^{17}}$，
则x+y=（25+2$\sqrt{155}$）²⁰+（25+2$\sqrt{155}$）¹⁷+（25-2$\sqrt{155}$）²⁰+（25-2$\sqrt{155}$）¹⁷
=$[{（25+2\sqrt{155}）^{20}}+{（25-2\sqrt{155}）^{20}}]+[{（25+2\sqrt{155}）^{17}}+{（25-2\sqrt{155}）^{17}}]$，
=$2（{25^{20}}+C_{20}^{18}{25^{18}}×620+…+C_{20}^{20}{（620）^{20}}+2（{25^{17}}+C_{17}^2{25^{15}}×620+…+C_{17}^{16}{（620）^8}）$，
已知x+y为整数且个位数为0，
而$0＜25-2\sqrt{155}=\frac{5}{{25+\sqrt{620}}}＜\frac{5}{25}=0.2$，
所以$0＜{（25-2\sqrt{155}）^{20}}+{（25-2\sqrt{155}）^{17}}＜{0.2^{20}}+{0.2^{17}}＜1$，
所以x的个位为9．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于难题．