Question

已知函数其中为自然对数的底数， .(Ⅰ)设，求函数的最值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ)，． (Ⅱ)的取值范围是

第一问中，当时，，．结合表格和导数的知识判定单调性和极值，进而得到最值。
第二问中，∵，，      
∴原不等式等价于：,
即, 亦即
分离参数的思想求解参数的范围
解：（Ⅰ)当时，，．
当在上变化时，，的变化情况如下表：

		－		＋
					1／e

∴时，，．
(Ⅱ)∵，，      
∴原不等式等价于：,
即, 亦即．
∴对于任意的，原不等式恒成立,等价于对恒成立,
∵对于任意的时, （当且仅当时取等号）．
∴只需，即，解之得或.
因此，的取值范围是