Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

），其部分图象如图所示．
（I）求f（x）的解析式；
（II）求函数g(x)=f(x+

π

4

)•f(x-

π

4

)在区间[0，

π

2

]上的最大值及相应的x值．

Answer 1

分析：（I）先求周期，推出ω，利用（

π

4

，1），推出?=

π

4

，得到f（x）的解析式；
（II）求函数g(x)=f(x+

π

4

)•f(x-

π

4

)在区间[0，

π

2

]上的最大值及相应的x值．

解答：解：（I）由图可知，A=1（1分）

T

4

=

π

2

，所以T=2π（2分）
所以ω=1（3分）
又f(

π

4

)=sin(

π

4

+?)=1，且-

π

2

＜φ＜

π

2

所以?=

π

4

（5分）
所以f(x)=sin(x+

π

4

)．（6分）

（II）由（I）f(x)=sin(x+

π

4

)，
所以g(x)=f(x+

π

4

)•f(x-

π

4

)=sin(x+

π

4

+

π

4

)•sin(x-

π

4

+

π

4

)=sin(x+

π

2

)sinx（8分）
=cosx•sinx（9分）
=

1

2

sin2x（10分）
因为x∈[0，

π

2

]，所以2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]
故：

1

2

sin2x∈[0，

1

2

]，
当x=

π

4

时，g（x）取得最大值

1

2

．（13分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的最值，考查学生视图能力，是基础题．