Question

点P（x，y）在不等式组

x≥0 x+y≤3 y≥x+1

表示的平面区域内，若点P（x，y）到直线y=kx-1（k＞0）的最大距离为2

2

，则k=

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出题中不等式组对应的平面区域，得到△ABC及其内部，而直线y=kx-1经过定点（0，-1）是△ABC下方的一点，由此观察图形得到平面区域内的点B（0，3）到直线y=kx-1的距离最大．最后根据点到直线距离公式建立关于k的方程，解之即可得到实数k的值．

解答： 解：作出不等式组

x≥0 x+y≤3 y≥x+1

表示的平面区域，
得到如图所示的△ABC及其内部，其中A（0，1），B（0，3），C（1，2）
∵直线y=kx-1经过定点（0，-1），
∴△ABC必定在直线y=kx-1的上方时，
由此结合图形加以观察，得到平面区域内的点B（0，3）到直线y=kx-1的距离最大，
将直线y=kx-1化成一般式，得kx-y-1=0
因此，可得

|-3-1|

k2+(-1)2

=2

2

，解之即可得到k=±1，
∵k＞0，∴k=1
故答案为：1；

点评：本题给出平面区域内点到直线y=kx-1的距离最大值为2 

2

，求实数k的值，着重考查了点到直线的距离公式和简单线性规划等知识，属于中档题．