Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=4cosC，且c=2，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A、

  3

• B、

  2

• C、2
• D、2

  2

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦定理

专题：解三角形

分析：利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosC，进而求得C．根据余弦定理求得a和b的不等式关系，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用a和b的不等式关系求得三角形面积的最大值．

解答： 解：∵acosB+bcosA=4cosC，且c=2，
∴由题意及正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，故cosC=

1

2

，
可解得：sinC=

3

2

，
可得：cosC=

1

2

=

a2+b2-4

2ab

，
∴ab=a²+b²-4≥2ab-4，即ab≤4，等号当a=b时成立，
∴可得：S_△ABC=

1

2

absinC≤

3

．
故选：A．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，正弦定理的应用，两角和公式的化简求值，属于基本知识的考查．