Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²-bx（b为常数），若b＞1对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：

分析：要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，利用导数的几何意义是切线的斜率，得到对于区间[1，2]上的任意实数x，|f′（x）|＞|g′（x）|，列出b的不等关系，从而得出b的取值范围．

解答： 解：对于区间[1，2]上的任意实数x，f′（x）=

1

x

∈[

1

2

，1]．
g′（x）=x-b∈[1-b，2-b]，
要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，
若用注意到f（x）是增函数，不妨设x₁＞x₂，则f（x₁）＞f（x₂），问题转化为|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|
等价于-f（x₁）+f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）从而f（x₁）-g（x₁）＞f（x₂）-g（x₂）且f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
即f（x）-g（x）与f（x）+g（x）都是增函数，
利用导数的几何意义是切线的斜率，得到|f′（x）|＞|g′（x）|，
即

1

x

＞|b-x|，于是x-

1

x

≤b≤x+

1

x

即（x-

1

x

）_max≤b≤（x+

1

x

）_min
∴

3

2

≤b≤2．
则b的取值范围[

3

2

，2]．
故答案为：[

3

2

，2]．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．