Question

16．已知函数y=1+$\frac{2a（sinθ-cosθ）}{{{a^2}+2acosθ+2}}$（a，θ∈R，a≠0）对任意的a，θ，则函数的最大值为2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 将所求关系式进行化简，利用直线和圆的位置关系即可求得函数y的最大值．

解答 解：∵函数y=1+$\frac{2a（sinθ-cosθ）}{{{a^2}+2acosθ+2}}$=$\frac{{a}^{2}+2asinθ+2}{{a}^{2}+2acosθ+2}$，
则2aycosθ-2asinθ+（y-1）（a²+2）=0，
设m=cosθ，n=sinθ，则P（m，n）的轨迹为圆m²+n²=1，
即直线2aym-2an+（y-1）（a²+2）=0与圆m²+n²=1有公共点，
即圆心到直线的距离小于或等于半径，即 $\frac{|y-1|{（a}^{2}+2）}{2|a|•\sqrt{{y}^{2}+1}}$≤1．
整理得$\frac{|y-1|}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$≤$\frac{2|a|}{{a}^{2}+2}$≤$\frac{2|a|}{2\sqrt{2}|a|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{|y-1|}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即 y²-4y+1≤0，
求得2-$\sqrt{3}$≤y≤2+$\sqrt{3}$．
故y的最大值为2+$\sqrt{3}$，
故答案为：2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的最值，着重考查直线与圆的位置关系，突出等价转化思想与综合运算能力，属于难题．