Question

5．设函数f（x）=|2x+1|+|2x-a|+a，x∈R．
（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）＞7的解集；
（Ⅱ）对任意x∈R恒有f（x）≥3，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=3时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}5-4x，x≤-\frac{1}{2}\\ 7，-\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}\\ 4x+1，x≥\frac{3}{2}\end{array}\right.$，解不等式，最后求并集即可；
（Ⅱ）由绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值为|a+1|+a，由恒成立思想可得|a+1|+a≥3，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=3时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}5-4x，x≤-\frac{1}{2}\\ 7，-\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}\\ 4x+1，x≥\frac{3}{2}\end{array}\right.$
所以f（x）＞7的解集为$x|x＜-\frac{1}{2}$或$\left.{x＞\frac{3}{2}}\right\}$
（Ⅱ）f（x）=|2x+1|+|a-2x|+a≥|2x+1+a-2x|=|a+1|+a，
由f（x）≥3恒成立，有|a+1|+a≥3，解得a≥1．
所以a的取值范围是a≥1．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．