Question

13．已知sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$
（1）求sinθ•cosθ的值；
（2）当0＜θ＜π时，求tanθ的值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出sinθ•cosθ的值即可；
（2）根据sinθ•cosθ的值大于0及θ的范围，判断得到sinθ+cosθ大于0，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinθ+cosθ的值，与已知等式联立求出sinθ与cosθ的值，即可求出tanθ的值．

解答 解：（1）把已知等式sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$①两边平方得：（sinθ-cosθ）²=1-2sinθ•cosθ=$\frac{1}{25}$，
整理得：sinθ•cosθ=$\frac{12}{25}$；
（2）∵0＜θ＜π，sinθ•cosθ=$\frac{12}{25}$＞0，
∴sinθ＞0，cosθ＞0，即sinθ+cosθ＞0，
∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθ•cosθ=$\frac{49}{25}$，
∴sinθ+cosθ=$\frac{7}{5}$②，
联立①②，解得：sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=$\frac{3}{5}$，
则tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．