Question

4．设AB是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）中不平行于对称轴且过原点的一条弦，M是椭圆上一点，直线AM与BM的斜率之积k_AM•k_BM=$-\frac{16}{25}$，则该椭圆的离心率为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 设点A（s，t），B（-s，-t），M（m，n），运用直线的斜率公式和点差法，可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{16}{25}$，再由离心率公式计算即可得到所求．

解答 解：设点A（s，t），B（-s，-t），M（m，n），
则k_AM•k_BM=$\frac{n-t}{m-s}$•$\frac{n+t}{m+s}$=$\frac{{n}^{2}-{t}^{2}}{{m}^{2}-{s}^{2}}$=-$\frac{16}{25}$，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{s}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴$\frac{{m}^{2}-{s}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}-{t}^{2}}{{b}^{2}}$=0，
∴$\frac{{n}^{2}-{t}^{2}}{{m}^{2}-{s}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{16}{25}$，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{16}{25}}$=$\frac{3}{5}$，
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查的离心率的求法和方程的运用，考查运算能力，属于中档题．